Описание организационной формы передачи учителям методики работы с творческими работами

, видим, что ;

; ; .

В правой части равенства степень у одного из членов бинома от наибольшей постепенно уменьшается на 1 до нулевой степени, а у другого одновременно с этим увеличивается с нулевой степени до степени, в которую возводился бином.

Коэффициенты при членах бинома с наибольшей степенью равны 1.

Зная эти свойства, получаем следующее разложение для формулы , биномиальные коэффициенты которой пока неизвестны:

Для получения полного разложения формулы необходимо найти, чему равны биномиальные коэффициенты.

Продолжая анализ формул (2.1), выпишем все биномиальные коэффициенты в виде треугольной таблицы:

или

Данная таблица называется “арифметическим треугольником” или, треугольником Паскаля, в честь выдающегося французского математика и философа XVII века Блез Паскаля (1623-1662) . Она является одной из самых знаменитых таблиц в истории математики. Паскаль посвятил ей специальный “Трактат об арифметическом треугольнике”. Однако эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года, даты выхода труда Паскаля. Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного Петром Апианом, астрономом из Ингольштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге “Яшмовое зеркало четырех элементов” китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, не только поэт и философ, но и математик, знал о существовании треугольника коло 1100 года, а в свою очередь заимствовал его из более ранних китайских или индийских источников. Но именно Паскаль обобщил известные и привел много новых свойств треугольника, которые сформулированы в девятнадцати теоремах.

рис. 2.1

Рассмотрим арифметическую таблицу, выписанную в виде равнобедренного треугольника (рис. 2.1.) Видим, что в нем на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Строка с номером n состоит из коэффициентов разложения бинома .

Треугольник Паскаля содержит и другие свойства, о которых можно прочитать в. Например, вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей (рис. 2.2). Суммы чисел, стоящих вдоль восходящих диагоналей, образуют последовательность чисел Фибоначчи. Если, спускаясь по центральному столбцу, из каждого числа вычитать соседнее справа (или слева), то возникает последовательность чисел Каталана.

Информация по теме:

Виды моделей
В дошкольном обучении применяются разные виды моделей. Прежде всего предметные, в которых воспроизводятся конструктивные особенности, пропорции, взаимосвязь частей каких-либо объектов. Это могут быть технические игрушки, в которых отражен принцип устройства механизма; модели построек. В настоящее в ...

Оценка эффективности применения метода круговой тренировки на занятиях по физической культуре с детьми 6–7 лет
Исследование осуществлялось в три этапа. На первом этапе (2 месяца) осуществлялось накопление эмпирического материала и определение теоретических основ исследования, изучение психологической, педагогической, научно-методической и учебной литературы по проблеме, обобщение, анализ имеющихся в нашей с ...

Понятия счисления натуральных чисел и правила их образования и чтения
Рассмотрим методику ознакомления с основными математическими понятиями, изучаемыми в данной теме. Понятие натурального числа дается на эмпирическом уровне. Число обозначается в порядке установления взаимно однозначного соответствия между предметами данной совокупности и словами – числительными. В н ...