Методы решения физических задач

Массы М, m1 и m2 определим по формулам:

М = ρAlπR2L; m1 = ρAlπr2L; m2=ρPbπr2L.

Уравнение равновесия цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс, будет иметь вид:

m2g (d-XC) - m1g (d-XC) - MgXC =0.

После подстановки значений М, m1 и m2 в уравнение равновесия и преобразований получим выражение, определяющее координату центра масс данного цилиндра:

XC=dr2 (ρPb-ρAl) / [ρAl (R2-r2) + ρPbr 2].

Метод индукции

Этот метод подобен методу математической индукции, с помощью которого устанавливается общая зависимость некоторых величин по их частным зависимостям.

Задача: Гоночный автомобиль ("болид") движется равноускоренно из состояния покоя. На первых десяти метрах его скорость возрастает на 10 м/с. Определить возрастание его скорости на тех же десяти метрах при прохождении от 990-го метра до 1000-го метра пути и сравнить с возрастанием на первых десяти метрах. Дать объяснение их значительному расхождению.

При решении задачи используем соотношение между изменением скорости и пройденным путём: V2-V02=2aS.

Скорость автомобиля после прохождения первого десятиметрового отрезка (S = 10 м) определится соотношением: V12=V02 + 2aS =0 +2aS =2aS;

после прохождения второго: V22= V12 + 2aS=2aS+2aS=4aS=2V12;

после прохождения третьего: V32=V22 +2aS=4aS+2aS = 6aS = 3V12;

Следовательно, между обеими частями трех последних равенств просматривается зависимость вида: Vn2= nV12,откуда связь между скоростью при прохождении n-го десятиметрового отрезка и первого выразится соотношением: Vn= (n) 1/2V1. Используя это соотношение определим скорость после прохождения 99 - го и 100 - го десятиметровых отрезков, соответственно, V99= (99) 1/2V1, V100= (100) 1/2V1; тогда возрастание скорости на десятиметровом отрезке между 990 м и 1000 м пути составит: Δ V (99 - 100) = [ (100) 1/2- (99) 1/2] V1≈0,5 (м/с).

На первых десяти метрах скорость возросла на 10 м/с, а на сотом таком отрезке пути всего на 0,5 м/с. Это потому, что при прохождении сотого отрезка длиной в 10 м скорость автомобиля составляет около 100 м/с (360 км/ч), и "болид" проскакивает эти десять метров за очень малый промежуток времени, в течение которого и скорость увеличивается незначительно. Так как при равноускоренном движении ΔV = a Δt, то время проскакивания "болидом" этих десяти метров составит Δt = ΔV (99 - 100) /a. Ускорение можно определить как: а = V12/ 2S = 102/ (2.10) = 5 м/с2,тогда Δt = 0,5 м/с / 5 м/с2 = 0,1 с.

Задача: Поршневым вакуумным насосом (рис.22) с рабочей камерой объёмом ΔV откачивают воздух из сосуда объёмом V от давления P0 до давления Рn (Pn< P0). Определить число n ходов поршня, которое должно быть совершено при этом. Процесс откачки считать изотермическим.

рис.18

Вакуумный насос - это устройство, которое при работе создаёт в объёме своей рабочей камеры ΔV пониженное давление (порядка 10 - 3 - 10-4 мм рт. ст.)

Поэтому при подключении насоса к откачиваемому объёму общий объём становится равным V + ΔV, газ расширяется, заполняя оба объёма, и понижает своё давление.

Тот газ, который заполняет рабочую камеру насоса, отсекается насосом и выталкивается в атмосферу. "Пустой" объём рабочей камеры вновь подключается к откачиваемому объёму.

Происходит очередное расширение газа, приводящее к очередному понижению давления, и т.д.

Так как процесс считается изотермическим, то, используя закон Бойля - Мариотта, можно для начального состояния газа в откачиваемом объёме и состояния газа после первого подключения рабочей камеры насоса записать уравнение:

Р0V=P1 (V+ΔV),

из которого определим давление в сосуде после первого хода поршня насоса

Р1=Р0V/ (V+ΔV).

Тогда после второго подключения можно записать уравнение: Р1V=P2 (V+ΔV), откуда определим давление в сосуде после второго хода поршня насоса:

Р2 = Р1V / (V+ΔV) =Р0 [V/ (V+ΔV)] 2.

Аналогично для третьего хода поршня вакуумного насоса: Р2 V = P3 (V + ΔV),

P3 = Р2 V / (V+ΔV) =Р0 [V/ (V+ΔV)] 3.

Из анализа уравнений просматривается зависимость, связывающая давление в сосуде после n-го хода поршня Pn c первоначальным давлением Р0:

Pn=Р0 [V/ (V+ΔV)] n.

Для нахождения числа ходов поршня n логарифмируем уравнение:

lg Pn = lg P0+nlg [V/ (V+ΔV)], откуда n = lg (Pn/P0) /lg [V/ (V+ΔV)].

При достижении в откачиваемом объёме давления равного давлению в рабочей камере насоса (10 - 3 - 10 - 4 мм рт. ст.) процесс откачки прекращается и насос лишь поддерживает достигнутый вакуум.

Информация по теме:

Задачи математического образования в подростковой школе
Исследователи развивающего обучения Б.Д. Эльконин и И.Д. Фрумин полагают, что “учебная деятельность в подростковом возрасте должна быть продолжена как учебно-эксперементальная”, в которой предметом являются условия существования и границы предметной области, описываемой через некое исходное отношен ...

Творческая тетрадь для шестого класса по теме “Признак делимости на 11 натуральных чисел”
Настоящий параграф посвящен одному из средств обеспечения выполнения творческих работ по математике, которое мы назвали творческой тетрадью. Творческая тетрадь – это особым образом оформленная система заданий и мест для решения, выстроенная в соответствии с логикой разворачивания исследовательской ...

Особенности психического и физического развития детей с нарушениями интеллектуального развития
Дети с нарушениями интеллектуального развития характеризуются стойкими нарушениями всей психической деятельности, особенно отчетливо обнаруживающимися в сфере познавательных процессов. Причем имеет место не только отставание от нормы, но и глубокое своеобразие личностных проявлений, и познания. Так ...