Методика преподавания теории вероятностей и математической статистики в средней школе

Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что , значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье.

На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Изучив основные операции над событиями, можно перейти к вероятности. А именно привести основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

Вероятность достоверного события равна единице: Р(E) = 1.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А1+ А2+…+ Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Эти два равенства являются аксиомами, то есть не требуют доказательства. На основе этих равенств строится вся теория вероятностей. Приведенные ниже формулы можно вывести при помощи этих аксиом.

Вероятность невозможного события равна 0: Р(Ø) = 0.

Вероятность противоположного события равна: Р(Ā) = 1 – Р(А).

Вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ).

Теперь вспомним определения независимых событий.

Событие А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В).

На практике часто путают независимые и несовместные события, это разные понятия. Другими словами можно сказать, если события связаны независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.

Показать применение изученных правил можно при решении следующей задачи.

На соревнованиях по стрельбе из лука три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, для другого – 0,7, для третьего – 0,93. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; б) только один из стрелков попадет в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень.

Решение. Пусть событие А – первый стрелок попал в мишень, тогда Р(A)=0,6; Событие В – второй стрелок попал в мишень, тогда Р(В)=0,7; Событие С – третий стрелок попал в мишень, тогда Р(С)=0,93.

В данной задаче все события являются независимыми, так как стреляют, независимо друг от друга.

а) Пусть событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Вспомним определение суммы событий: событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В. Данное определение можно применить и к большему числу событий. Следовательно событие S=А+В+С. То есть нам нужно найти Р(А+В+С). А так как все события независимые то, применяя формулу суммы и произведения независимых событий, получаем:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)=0,99.

б) Пусть событие S – только один из стрелков попадет в мишень. Данное событие можно представить как сумму следующих событий: . Рассмотрим подробно событие , но для начала вспомним определение произведения событий: событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Итак, событие означает, что первый игрок попадет, а два других промажут, аналогично рассматриваются два других слагаемых. Данные слагаемые является несовместным, так как появление одного из них исключает появление двух других. Значит можно применить формулу суммы несовместных событий, а затем формулу произведения независимых событий:

Информация по теме:

Методы, приемы и формы работы с художественным текстом на уроках чтения
Методика чтения художественного произведения в младших классах имеет сложную историю развития, её спорные вопросы решаются вплоть до настоящего времени. Анализируя состояние методики чтения художественных произведений в школе начало 20в., С.П. Редозубов писал: ''следует заметить, что ''бережное отн ...

Исходные теоретические позиции урока
С урока начинается учебно-воспитательный процесс, уроком он и заканчивается. Всё остальное в школе играет хотя и важную, но вспомогательную роль, дополняя и развивая всё то, что закладывается в ходе уроков. Каждый новый урок – это ступенька в знаниях и развитии ученика, новый вклад в формирование е ...

Творческая тетрадь для шестого класса по теме “Признак делимости на 11 натуральных чисел”
Настоящий параграф посвящен одному из средств обеспечения выполнения творческих работ по математике, которое мы назвали творческой тетрадью. Творческая тетрадь – это особым образом оформленная система заданий и мест для решения, выстроенная в соответствии с логикой разворачивания исследовательской ...